Concepts-clés 10.3¶
DÉFINITION 1：¶
Soit $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$. On dit que $A$ est orthogalement diagonalisable s'il existe une matrice orthogonale $P \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} A P$ soit diagonale. Aussi, si $V$ désigne un espace euclidien et $T: V \rightarrow V$ une transformation linéaire de $V$, on dit que $T$ est orthogonalement diagonalisable si $V$ possède une base orthonormée formée de vecteurs propres de $T$.
REMARQUE 2:¶
Soit $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable et supposons que $P \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ soit comme ci-dessus. Alors $P^{T} A P=P^{-1} A P$
PROPOSITION 3:¶
Soit $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice orthogonalement diagonalisable. Alors $A$ est une matrice symétrique.
REMARQUE 4:¶
La réciproque est également vraie!
Concepts-clés 10.4¶
PROPOSITION:¶
Soient $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique et $\lambda \neq \mu$ deux valeurs propres distinctes pour $A .$ Si $u \in E_{\lambda}$ et $v \in E_{\mu},$ alors $u$ et $v$ sont orthogonaux (pour le produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^{n}$ ).
THÉORÈME SPECTRAL：¶
Soit $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il existe une matrice $P \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ orthogonale telle que $P^{T} A P$ soit diagonale, i.e. $A$ est orthogonalement diagonalisable.
REMARQUE：¶
- Soit $A \in M_{n \times n}$ ( $\mathbb{R}$ ) . Alors $A$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si elle est symétrique.
- Soit $A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ une matrice symétrique. Alors il est possible de factoriser $c_{A}(t)$ en un produit de facteurs linéaires sur $\mathbb{R}$. En particulier, $c_{A}(t)$ n'admet aucune racine purement complexe. Autrement dit, si $\alpha$ est une racine de $c_{A}(t),$ alors $\alpha \in \mathbb{R}$
- Pour chaque valeur propre $\lambda \in \mathbb{R}$ de $A$, la dimension de l'espace propre $E_{\lambda}$ est égale à la multiplicité algébrique de $\lambda$ comme racine de $c_{A}(t)$
THÉORÈME 4:¶
Soit $T: V \rightarrow V$ une transformation linéaire d'un espace euclidien et $\mathscr{B}$ une base orthonormée (arbitrairement choisie) de $V$. Alors $T$ est orthogonalement diagonalisable si et seulement si $[T]_{\mathscr{B}}$ est symétrique.
import numpy as np
import sympy as sp
from IPython.display import display, Latex, Markdown, display_latex
import plotly
import plotly.graph_objects as go
import sys, os
sys.path.append('../Chapitre 8 - Valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation')
from Ch8_lib import *
sys.path.append('../Librairie')
import AL_Fct as al
from Ch10_lib import *
from sympy import sqrt, sin, cos, pi
Exercice 1¶
En utilisant le cours et et les énoncés rappelés ci-dessus, répondez aux questions suivantes.
vf_10_4_1()
Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
vf_10_4_1()
Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
quest_10_4_2()
quest_10_4_3()
Exercice 2¶
En étudiant les ensembles de valeurs propres et de vecteurs propres suivants, dire si les matrices correspondantes sont symétriques ou non, ou si il manque d'informations pour répondre.
exo_2_1_10_4()
exo_2_2_10_4()
exo_2_3_10_4()
exo_2_4_10_4()
Exercice 3¶
En utilisant les théorèmes vus dans ce chapitre, generez une matrice répondant aux conditions données dans l'énoncé suivant.
ex_3_1_10_4()
A =